Barisan Aritmatika

Untuk memahami barisan aritmetika, pelajari uraian berikut.

Di suatu counter pulsa, dijual berbagai macam kartu perdana dan voucher pulsa dengan harga beragam. Jika Heru membeli sebuah kartu perdana maka dikenakan harga Rp12.000,00, jika Heru membeli dua kartu perdana maka dikenakan harga Rp20.000,00. Jika Heru membeli tiga kartu perdana, dikenakan harga Rp28.000,00. Begitu seterusnya, setiap penambahan pembelian satu kartu perdana, harga pembelian bertambah Rp8.000,00. Apabila harga pembelian kartu perdana tersebut disusun dalam suatu bilangan maka terbentuk barisan berikut (dalam ribuan), yaitu 12, 20, 28, 36, 44, dan seterusnya. Dari contoh tersebut, Anda lihat bahwa setiap dua suku yang berurutan memiliki beda yang tetap. Barisan yang memiliki beda yang tetap dinamakan barisan aritmetika.

Definisi Barisan Aritmetika
Suatu barisan dikatakan sebagai barisan aritmetika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut sebagai beda (b).

Definisi tersebut jika diubah ke bentuk notasi adalah sebagai berikut. 

Jika U1, U2, U3, ..., Un–1, Un adalah suatu barisan bilangan maka barisan tersebut dikatakan sebagai barisan aritmetika apabila memenuhi hubungan berikut.
U2 – U1 = U3 – U2 = ... Un – Un–1
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh:

Di antara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmetika.
a. 1, 4, 7, 10, ...
b. 3, 6, 12, 24, ...
c. 44. 41, 38, 35, ...

Jawab:
Untuk menentukan apakah suatu barisan termasuk barisan aritmetika atau bukan, hal yang harus diperhatikan adalah beda dari setiap dua suku berurutan dalam barisan tersebut. Jika bedanya tetap maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.
a. Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 1, 4, 7, 10, ... adalah
    4 – 1 = 3, 7 – 4 = 3, 10 – 7 = 3
    Beda dari barisan ini tetap sehingga 1, 4, 7, 10, ... adalah barisan arimetika.

b. Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 3, 6, 12, 24,...
    6 – 3 = 3, 12 – 6 = 6, 24 – 12 = 12
    Beda dari barisan ini tidak tetap sehingga barisan 3, 6, 12, 24, ... bukan barisan aritmetika.

c. Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 44, 41, 38, 35, ...
    41 – 44 = –3, 38 – 41 = –3, 35 – 38 = –3
    Beda dari barisan ini tetap sehingga barisan 44, 42, 38, 35, ... adalah barisan aritmetika.

Jika Anda diminta menentukan suku ke 101 dari barisan bilangan asli, tentu saja Anda dengan mudahnya dapat menjawab pertanyaan tersebut. Akan tetapi, Bila Anda diminta menentukan suku ke 101 dari barisan bilangan ganjil, Anda akan menemui kesulitan Bila diminta menjawab secara spontan dan tidaklah mungkin jika Anda harus mencarinya dengan mengurutkan satu per satu dari suku awal sampai suku yang ditanyakan. Untuk itulah diperlukan suatu aturan untuk menentukan suku-suku yang dicari, supaya dapat menentukan suku tertentu dari suatu barisan aritmetika. Untuk itu, pelajarilah penurunan rumus suku ke–n berikut dengan baik. Misalkan U1, U2, U3, ..., Un adalah barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b maka Anda dapat menuliskan:
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3 – 1)b
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4 – 1)b

 ...........................................................................

Un = Un – 1 + b = a + ( n – 1)b

Berdasarkan pola dari suku-suku pada barisan tersebut, Anda dapat menentukan rumus suku ke–n suatu barisan aritmetika, sebagai berikut.

Rumus suku ke–n dari suatu Barisan Aritmetika.
Misalkan terdapat suatu barisan aritmetika U1, U2 ..., Un maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertama a dan beda b adalah

Un = a – (n – 1)b

Contoh:

Diketahui barisan aritmetika 7, 11, 15, 19, ...
a. Tentukan rumus suku ke–n dari barisan tersebut.
b. Suku ke–11 dari barisan tersebut.

Jawab:
a. 7, 11, 15, 19, ... Dari barisan tersebut diketahui suku pertama a = 7 dan beda barisan
    b = 11 – 7 = 15 – 11 = 19 – 15 = 4. Dengan demikian, suku ke–n dari barisan tersebut adalah
    Un = a + ( n – 1) b
    Un = 7 + ( n – 1) 4
    Un = 4n + 3
    Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah Un = 4n + 3.

b. Berdasarkan jawaban a, diperoleh Un = 4n + 3. Dengan demikian,
    U11 = 4 (11) + 3 = 44 + 3 = 47
    Jadi, suku ke–11 dari barisan tersebut adalah 47.