GEOMETRI FANO

Gino Fano pda tahun 1892 menemukan gometri tiga dimensi yang mempunyai 15 titik, 35 garis dan 15 bidang. Satu dari bidang-bidang tersebut adalah geometri Fano.

Sebagai undefined terms ditetapkan titik, garis dan pada. Aksima-akisomanya adalah sebagai berikut :

1.       Aksioma 1 : Terdapat minimal satu garis.

2.       Aksioma 2 : Terdapat tepat tiga titik pada setiap garis.

3.       Aksioma 3 : Tidak semua titik segaris.

4.       Aksioma 4 : Terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda.

5.       Aksioma 5 : Terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda.

Berikut ini dua penyajian dari suatu model geometri Fano.

Dari aksioma-aksioma undefined terms diturunkan teorema-teorema berikut ini :

TEOREMA 1 FANO

Dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu

Bukti :     aksioma lima menjamin bahwa terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda, sebut garis itu k dan g dengan titik sekutu P............................................. (1)

Berikut modelnya:

Andaikan terdapat lebih dari satu titik sekutu pada garis k dan g, sebut saja titik Q. Sehingga titik P pada k dan titik Q pada k, demikian pula titik P pada g dan titik Q pada g. Hal ini berarti untuk setiap titik yang berbeda P dan Q terdapat dua garis yang sama yaitu garis k dan g.

Berikut modelnya:

Hal ini kontradiksi dengan aksioma 4. Karena telah terjadi kontradiksi sehingga tidaklah lebih dari satu titik sekutu pada dua garis yang berbeda.............................................(2)

Dari (1) dan (2) teorema 1 fano terbukti

TEOREMA 2 FANO

Geometri fano mempunyai tepat 7 titik dan 7 garis.

Bukti :         Aksioma 1 menjamin bahwa terdapat minimal 1 garis, sebut saja garis l₁

Aksioma 2 menjamin bahwa pada garis l₁ ada tepat tiga titik, sebut saja titk A, B dan C.

Aksioma 3 menjamin bahwa tidak semua titik pada titik l₁ , berarti ada minimal satu titik tidak pada l₁, sebut saja titik P. Jadi ada minimal empat titik yaitu titik A, B, C dan P.

Aksioma 4 menjamin bahwa P dan setiap titik pada l₁ menentukan garis-garis berbeda.

Menurut aksioma 2 garis-garis ini masing-masing memuat 3 titik. Karena untuk setiap dua titik hanya ada satu garis (aksioma 4) maka ada tiga titik tadi pasti bukan A, B, C atau P. Jadi minimal ada tujuh titik yaitu titik A, B, C, P, Q, R dan S. Menurut aksioma 4 akan terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda. Sehingga dari aksioma tersebut  terdapat minimal 7 titik dan 7 garis.............................................(1)

Berikut ini modelnya

Andaikan terdapat lebih dari 7 titik dan 7 garis, katakan terdapat 8 titik dan 8 garis kita sebut titik K dan kita buat garis dengan titik-titik P, K dan C (Aksioma 2) atau kita sebut garis l₈.

Hal ini kontradiksi dengan Aksioma 4, karena telah terjadi kontradiksi sehingga mempunyai tepat 7 titik dan 7 garis....(2)

Dari (1) dan (2) teorema 2 fano terbukti