program menghitung luas segitiga

berikut ini merupakan program untuk menghitung luas segitiga

program ini adalah program asli bikinan saya, dengan menggunakan visual basic 0.6

bagi yang ingin memakainya silahkan download>>> disini

Continue...

Ramalan Zodiak (dengan Visual Basic 0.6)

ramalan zodiak 2011 merupakan program yang di buat dari Visual Basic 0.6

program ini hasil karya sendiri, bagi yang ingin mencoba silahkan download >> disini
atau
http://toraze.fileave.com/Aripta-zodiak.exe

Continue...

Barisan Aritmatika

Untuk memahami barisan aritmetika, pelajari uraian berikut.

Di suatu counter pulsa, dijual berbagai macam kartu perdana dan voucher pulsa dengan harga beragam. Jika Heru membeli sebuah kartu perdana maka dikenakan harga Rp12.000,00, jika Heru membeli dua kartu perdana maka dikenakan harga Rp20.000,00. Jika Heru membeli tiga kartu perdana, dikenakan harga Rp28.000,00. Begitu seterusnya, setiap penambahan pembelian satu kartu perdana, harga pembelian bertambah Rp8.000,00. Apabila harga pembelian kartu perdana tersebut disusun dalam suatu bilangan maka terbentuk barisan berikut (dalam ribuan), yaitu 12, 20, 28, 36, 44, dan seterusnya. Dari contoh tersebut, Anda lihat bahwa setiap dua suku yang berurutan memiliki beda yang tetap. Barisan yang memiliki beda yang tetap dinamakan barisan aritmetika.

Definisi Barisan Aritmetika
Suatu barisan dikatakan sebagai barisan aritmetika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut sebagai beda (b).

Definisi tersebut jika diubah ke bentuk notasi adalah sebagai berikut. 

Jika U1, U2, U3, ..., Un–1, Un adalah suatu barisan bilangan maka barisan tersebut dikatakan sebagai barisan aritmetika apabila memenuhi hubungan berikut.
U2 – U1 = U3 – U2 = ... Un – Un–1
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh:

Di antara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmetika.
a. 1, 4, 7, 10, ...
b. 3, 6, 12, 24, ...
c. 44. 41, 38, 35, ...

Jawab:
Untuk menentukan apakah suatu barisan termasuk barisan aritmetika atau bukan, hal yang harus diperhatikan adalah beda dari setiap dua suku berurutan dalam barisan tersebut. Jika bedanya tetap maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.
a. Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 1, 4, 7, 10, ... adalah
    4 – 1 = 3, 7 – 4 = 3, 10 – 7 = 3
    Beda dari barisan ini tetap sehingga 1, 4, 7, 10, ... adalah barisan arimetika.

b. Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 3, 6, 12, 24,...
    6 – 3 = 3, 12 – 6 = 6, 24 – 12 = 12
    Beda dari barisan ini tidak tetap sehingga barisan 3, 6, 12, 24, ... bukan barisan aritmetika.

c. Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 44, 41, 38, 35, ...
    41 – 44 = –3, 38 – 41 = –3, 35 – 38 = –3
    Beda dari barisan ini tetap sehingga barisan 44, 42, 38, 35, ... adalah barisan aritmetika.

Jika Anda diminta menentukan suku ke 101 dari barisan bilangan asli, tentu saja Anda dengan mudahnya dapat menjawab pertanyaan tersebut. Akan tetapi, Bila Anda diminta menentukan suku ke 101 dari barisan bilangan ganjil, Anda akan menemui kesulitan Bila diminta menjawab secara spontan dan tidaklah mungkin jika Anda harus mencarinya dengan mengurutkan satu per satu dari suku awal sampai suku yang ditanyakan. Untuk itulah diperlukan suatu aturan untuk menentukan suku-suku yang dicari, supaya dapat menentukan suku tertentu dari suatu barisan aritmetika. Untuk itu, pelajarilah penurunan rumus suku ke–n berikut dengan baik. Misalkan U1, U2, U3, ..., Un adalah barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b maka Anda dapat menuliskan:
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3 – 1)b
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4 – 1)b

 ...........................................................................

Un = Un – 1 + b = a + ( n – 1)b

Berdasarkan pola dari suku-suku pada barisan tersebut, Anda dapat menentukan rumus suku ke–n suatu barisan aritmetika, sebagai berikut.

Rumus suku ke–n dari suatu Barisan Aritmetika.
Misalkan terdapat suatu barisan aritmetika U1, U2 ..., Un maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertama a dan beda b adalah

Un = a – (n – 1)b

Contoh:

Diketahui barisan aritmetika 7, 11, 15, 19, ...
a. Tentukan rumus suku ke–n dari barisan tersebut.
b. Suku ke–11 dari barisan tersebut.

Jawab:
a. 7, 11, 15, 19, ... Dari barisan tersebut diketahui suku pertama a = 7 dan beda barisan
    b = 11 – 7 = 15 – 11 = 19 – 15 = 4. Dengan demikian, suku ke–n dari barisan tersebut adalah
    Un = a + ( n – 1) b
    Un = 7 + ( n – 1) 4
    Un = 4n + 3
    Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah Un = 4n + 3.

b. Berdasarkan jawaban a, diperoleh Un = 4n + 3. Dengan demikian,
    U11 = 4 (11) + 3 = 44 + 3 = 47
    Jadi, suku ke–11 dari barisan tersebut adalah 47.

Continue...

rumus trigonometri

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b )   = tg a + tg b
                 1 - tg²a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b )   = tg a - tg b
                 1 + tg²a

SUDUT RANGKAP

sin 2a  = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a
tg 2a  =  2 tg 2a 
            1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a  = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na  = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1
tg na =   2 tg ½na  
           1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b
                                2              2
sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b
                                2             2
cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b
                                 2              2
cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b
                                  2             2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :                     
             K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
                         x2 = (180° - a) + n.360°

  cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°


tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
     a cos x + b sin x = C
            K cos (x-a) = C
               cos (x-a) = C/K
     syarat persamaan ini dapat diselesaikan
     -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
  cos (x - a) = cos b
        (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°

Continue...

GEOMETRI FANO

Gino Fano pda tahun 1892 menemukan gometri tiga dimensi yang mempunyai 15 titik, 35 garis dan 15 bidang. Satu dari bidang-bidang tersebut adalah geometri Fano.

Sebagai undefined terms ditetapkan titik, garis dan pada. Aksima-akisomanya adalah sebagai berikut :

1.       Aksioma 1 : Terdapat minimal satu garis.

2.       Aksioma 2 : Terdapat tepat tiga titik pada setiap garis.

3.       Aksioma 3 : Tidak semua titik segaris.

4.       Aksioma 4 : Terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda.

5.       Aksioma 5 : Terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda.

Berikut ini dua penyajian dari suatu model geometri Fano.

Dari aksioma-aksioma undefined terms diturunkan teorema-teorema berikut ini :

TEOREMA 1 FANO

Dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu

Bukti :     aksioma lima menjamin bahwa terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda, sebut garis itu k dan g dengan titik sekutu P............................................. (1)

Berikut modelnya:

Andaikan terdapat lebih dari satu titik sekutu pada garis k dan g, sebut saja titik Q. Sehingga titik P pada k dan titik Q pada k, demikian pula titik P pada g dan titik Q pada g. Hal ini berarti untuk setiap titik yang berbeda P dan Q terdapat dua garis yang sama yaitu garis k dan g.

Berikut modelnya:

Hal ini kontradiksi dengan aksioma 4. Karena telah terjadi kontradiksi sehingga tidaklah lebih dari satu titik sekutu pada dua garis yang berbeda.............................................(2)

Dari (1) dan (2) teorema 1 fano terbukti

TEOREMA 2 FANO

Geometri fano mempunyai tepat 7 titik dan 7 garis.

Bukti :         Aksioma 1 menjamin bahwa terdapat minimal 1 garis, sebut saja garis l₁

Aksioma 2 menjamin bahwa pada garis l₁ ada tepat tiga titik, sebut saja titk A, B dan C.

Aksioma 3 menjamin bahwa tidak semua titik pada titik l₁ , berarti ada minimal satu titik tidak pada l₁, sebut saja titik P. Jadi ada minimal empat titik yaitu titik A, B, C dan P.

Aksioma 4 menjamin bahwa P dan setiap titik pada l₁ menentukan garis-garis berbeda.

Menurut aksioma 2 garis-garis ini masing-masing memuat 3 titik. Karena untuk setiap dua titik hanya ada satu garis (aksioma 4) maka ada tiga titik tadi pasti bukan A, B, C atau P. Jadi minimal ada tujuh titik yaitu titik A, B, C, P, Q, R dan S. Menurut aksioma 4 akan terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda. Sehingga dari aksioma tersebut  terdapat minimal 7 titik dan 7 garis.............................................(1)

Berikut ini modelnya

Andaikan terdapat lebih dari 7 titik dan 7 garis, katakan terdapat 8 titik dan 8 garis kita sebut titik K dan kita buat garis dengan titik-titik P, K dan C (Aksioma 2) atau kita sebut garis l₈.

Hal ini kontradiksi dengan Aksioma 4, karena telah terjadi kontradiksi sehingga mempunyai tepat 7 titik dan 7 garis....(2)

Dari (1) dan (2) teorema 2 fano terbukti

Continue...

SKALA

Dalam pelajaran Geografi sering diminta untuk menentukan letak suatu pulau, sungai, kota, dan gunung pada suatu wilayah tertentu. Untuk melukiskan keseluruhan area dalam tempat tertentu pasti tidak memungkinkan. Karena itu perlu penskalaan atau perbandingan yang dapat mewakili tempat-tempat tersebut. Gambaran yang dibuat sebanding dengan aslinya tetapi dengan ukuran yang lebih kecil dinamakan penskalaan. Misalnya gedung, skala antara gedung sebenarnya dengan miniaturnya adalah 1:100. Jika pada miniatur berjarak 1 cm, maka jarak pada gedung aslinya adalah 1cm × 100 = 100cm = 1m. Skala biasanya digunakan untuk perbandingan ukuran pada peta (miniature, blue print) dibandingkan dengan ukuran sebenarnya. Atau ukuran gambar = ukuran objek sebenarnya.

Contoh:
Suatu peta pulau Jawa mempunyai skala 1 : 2.000.000. Pada peta tersebut jarak antara Jakarta Pusat ke Bandung terukur 10 cm, tentukan jarak sebenarnya?

Penyelesaian:
Diketahui skala = 1 : 2.000.000
Jarak sebenarnya = 10 cm : 1/2.000.000 = 20.000.000 cm = 200 km

Continue...

PERBANDINGAN

Jika kita mengamati dua buah objek, maka kita bisa membandingkan ukuran kedua objek tersebut, misalnya membandingkan tingginya, panjangnya, beratnya dan sebagainya. Untuk membandingkan dua ukuran dapat dinyatakan dengan hasil bagi dari kedua ukuran tersebut. Dengan demikian perbandingan dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan sederhana. 

Agar lebih mudah dipahami, perhatikan beberapa ilustrasi berikut:

1. Dede mempunyai 10 buah buku, sedangkan Zaza mempunyai 5 buah. Perbandingan banyaknya
    buku Dede dan banyaknya buku Zaza adalah 10 : 5 atau 2 : 1.
2. Berat badan Kiki 45 kg dan berat badan Boy 72 kg. Perbandingan berat badan Kiki dan Boy adalah
    45 : 72 atau 5 : 8.
3. Jarak rumah Chacha ke Sekolah 400 m sedangkan jarak ke Kantor Pos 2 km. Perbandingan jarak
    ke Sekolah dan jarak ke Kantor Pos dari rumah Chacha adalah 400 : 2000 atau 1 : 5.

Jika perbandingan dua besaran / ukuran sejenis A dan B adalah
A : B = x : y atau A/B = x/y

maka pernyataan perbandingan tersebut dapat diartikan sebagai berikut:
· A = (x/y)B
· B = (y/x)A
· x = (A/B)y
· y = (B/A)x


Perbandingan Senilai
Untuk memahami maksud perbandingan senilai, perhatikan ilustrasi dibawah ini:

1. Jika membeli sebuah buku, seseorang harus membayar x rupiah, maka untuk membeli n buah buku,
    orang tersebut harus membayar sebanyak n x rupiah.
2. Untuk menempuh jarak 50 km diperlukan bahan bakar sebanyak 1 liter premium, jika jarak yang
    harus ditempuh adalah 300 km, maka bahan premium yang diperlukan adalah 6 liter.

Dari gambaran diatas, makin banyak buku yang akan dibeli, makin banyak pula uang yang harus dikeluarkan. Begitu juga, makin jauh yang harus ditempuh makin banyak premium yang dibutuhkan.

Perbandingan Berbalik Nilai
Untuk memahami maksud perbandingan berbalik nilai, perhatikan ilustrasi dibawah ini:

1. Suatu pabrik memproduksi sepatu dengan target sebanyak 100 pasang. Jika dikerjakan oleh seorang saja, maka waktu yang dibutuhkan 100 hari. Jika dikerjakan oleh dua orang, maka waktu yang diperlukan sebanyak 50 hari. Jika dikerjakan oleh empat orang, maka waktu yang diperlukan sebanyak 25 hari. Jika dikerjakan oleh lima orang, maka waktu yang diperlukan sebanyak 20 hari.

2. Untuk menempuh jarak 45 km diperlukan waktu selama 45 menit dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. Jika kecepatan rata-rata 80 km/jam, maka waktu yang dibutuhkan sebanyak 33,75 menit. Begitu juga, jika kecepatan rata-rata 70 km/jam, maka waktu yang diperlukan adalah 38,57 menit.

Dari contoh di atas, bahwa makin banyak pegawai yang ikut mengerjakan makin sedikit hari yang dibutuhkan. Begitu juga, dengan menambah kecepatan rata-rata yang diperlukan, waktu yang dibutuhkan makin sedikit.

Continue...

BILANGAN REAL

Sistem bilangan merupakan dasar matematika. Oleh karena itu, sangatlah penting untuk mengenal berbagai jenis bilangan dan perbedaan di antara bilangan-bilangan tersebut. Dalam sub-bab ini akan dikenalkan mengenai dasar dan istilah yang berkaitan dengan bilangan asli, cacah, bulat, rasional, irrasional, dan real. 

Bilangan Asli

Dalam keseharian, biasanya orang membilang mulai dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya. Bilangan – bilangan ini dinamakan bilangan asli. Himpunan bilangan asli (natural) biasa dilambangkan dengan N, adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan asli, seperti dituliskan berikut ini.
N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

Bilangan Cacah

Jika bilangan 0 dimasukkan dalam himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dinamakan himpunan bilangan cacah, dan dilambangkan dengan H, yaitu:

H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Setiap bilangan asli juga merupakan bilangan cacah, akan tetapi bukan sebaliknya.

CONTOH
- Bilangan 7 adalah bilangan asli dan 7 juga merupakan bilangan cacah.
- Bilangan 4 adalah bilangan asli dan 4 juga merupakan bilangan cacah.
- Bilangan 0 merupakan bilangan cacah akan tetapi 0 bukan merupakan bilangan asli.

Bilangan Bulat

Bilangan asli 7 dapat juga dituliskan dengan memberikan tanda + didepannya menjadi +7. Jadi bilangan 7 dan +7 adalah sama. Namun demikian, tanda + tidak biasa dituliskan. Dalam perhitungan banyaknya suatu objek, sering dijumpai adanya kekurangan objek. Misal jumlah apel dalam suatu kardus seharusnya 100 buah apel, ternyata setelah dilakukan penghitungan banyaknya apel ada 97 buah. Jadi ada kekurangan buah apel sebanyak 3 buah. Untuk menyatakan kekurangan 3 buah apel ini dapat dituliskan dengan symbol -3 buah apel. Selanjutnya didefiniskan suatu bilangan negatif –n dengan n adalah bilangan asli. Himpunan bilangan yang dinotasikan dengan lambang Z dan mempunyai anggota seperti berikut ini dinamakan himpunan bilangan bulat (integer).

Z = {... ,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Setiap bilangan cacah juga merupakan bilangan bulat, akan tetapi bukan sebaliknya. Himpunan bilangan asli merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan cacah, begitu juga himpunan bilangan cacah merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat.

CONTOH
· Bilangan 7 adalah bilangan cacah dan 7 juga merupakan bilangan bulat.
· Bilangan 0 adalah bilangan cacah dan 0 juga merupakan bilangan bulat.
· Bilangan -7 merupakan bilangan bulat akan tetapi -7 bukan merupakan bilangan cacah.

Jadi bilangan bulat terdiri dari:
- Bilangan bulat positif, yaitu: 1, 2, 3, ...
- Bilangan bulat 0 (nol), dan
- Bilangan bulat negatif, yaitu: -1, -2, -3, ...

Continue...