GEOMETRI FANO

Gino Fano pda tahun 1892 menemukan gometri tiga dimensi yang mempunyai 15 titik, 35 garis dan 15 bidang. Satu dari bidang-bidang tersebut adalah geometri Fano.

Sebagai undefined terms ditetapkan titik, garis dan pada. Aksima-akisomanya adalah sebagai berikut :

1.       Aksioma 1 : Terdapat minimal satu garis.

2.       Aksioma 2 : Terdapat tepat tiga titik pada setiap garis.

3.       Aksioma 3 : Tidak semua titik segaris.

4.       Aksioma 4 : Terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda.

5.       Aksioma 5 : Terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda.

Berikut ini dua penyajian dari suatu model geometri Fano.

Dari aksioma-aksioma undefined terms diturunkan teorema-teorema berikut ini :

TEOREMA 1 FANO

Dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu

Bukti :     aksioma lima menjamin bahwa terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda, sebut garis itu k dan g dengan titik sekutu P............................................. (1)

Berikut modelnya:

Andaikan terdapat lebih dari satu titik sekutu pada garis k dan g, sebut saja titik Q. Sehingga titik P pada k dan titik Q pada k, demikian pula titik P pada g dan titik Q pada g. Hal ini berarti untuk setiap titik yang berbeda P dan Q terdapat dua garis yang sama yaitu garis k dan g.

Berikut modelnya:

Hal ini kontradiksi dengan aksioma 4. Karena telah terjadi kontradiksi sehingga tidaklah lebih dari satu titik sekutu pada dua garis yang berbeda.............................................(2)

Dari (1) dan (2) teorema 1 fano terbukti

TEOREMA 2 FANO

Geometri fano mempunyai tepat 7 titik dan 7 garis.

Bukti :         Aksioma 1 menjamin bahwa terdapat minimal 1 garis, sebut saja garis l₁

Aksioma 2 menjamin bahwa pada garis l₁ ada tepat tiga titik, sebut saja titk A, B dan C.

Aksioma 3 menjamin bahwa tidak semua titik pada titik l₁ , berarti ada minimal satu titik tidak pada l₁, sebut saja titik P. Jadi ada minimal empat titik yaitu titik A, B, C dan P.

Aksioma 4 menjamin bahwa P dan setiap titik pada l₁ menentukan garis-garis berbeda.

Menurut aksioma 2 garis-garis ini masing-masing memuat 3 titik. Karena untuk setiap dua titik hanya ada satu garis (aksioma 4) maka ada tiga titik tadi pasti bukan A, B, C atau P. Jadi minimal ada tujuh titik yaitu titik A, B, C, P, Q, R dan S. Menurut aksioma 4 akan terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda. Sehingga dari aksioma tersebut  terdapat minimal 7 titik dan 7 garis.............................................(1)

Berikut ini modelnya

Andaikan terdapat lebih dari 7 titik dan 7 garis, katakan terdapat 8 titik dan 8 garis kita sebut titik K dan kita buat garis dengan titik-titik P, K dan C (Aksioma 2) atau kita sebut garis l₈.

Hal ini kontradiksi dengan Aksioma 4, karena telah terjadi kontradiksi sehingga mempunyai tepat 7 titik dan 7 garis....(2)

Dari (1) dan (2) teorema 2 fano terbukti

Continue...

Teori Bilangan

1. a.) Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n
        Contoh :
        134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

        4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

   b.) Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5
        Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

   c.) Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3
        Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

   d.) Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9
        Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

   e.) Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut
        pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11
       Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.
       Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

2.) Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis
     dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima
     Berlaku sebaliknya.
     Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

3.) Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.
     Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi
     dan r menyatakan sisa
     Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)

4.) Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.
     Maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

5.) Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

6.) Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

7.) Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.
     Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1

Continue...